Polytope im IR ⁴ (= Polychora)

Die Erzeugung von Prismachora haben wir schon kurz bei den Archimedischen Polychora gesehen. Dieses Verfahren des Hochziehen eines uniformen Polyeders in die vierte Dimension funktioniert natürlich auch mit Prismen und Antiprismen. Wie wir aber bei den Biprismachora erfahren werden, sind Prismachora basierend auf Prismen nur ein Sonderfall von diesen. Allerdings erzeugen Antiprismen als Basis eine neue unendliche Klasse von uniformen Polychora.

Ein Polyeder verbleibt als Basis in der 3-dimensionalen Hyperebene, ein zweiter (gleicher) wird senkrecht zu dieser Hyperebene entlang der vierten Dimension – ohne verdreht zu werden – so weit verschoben, bis die Entfernung zwischen korrespondierenden Ecken gleich der Kantenlänge der Polyeder ist. Da dieses Objekt mit seiner Erzeugung den Prismen im Anschauungsraum nicht unähnlich ist, nennen wir es Prismachor. Das Prismachor besteht also aus der konvexen Hülle der beiden parallelen Polyeder. Da bei der Verschiebung natürlich auch die Flächen mitverschoben wurden und also zu jeder Fläche des Basispolyeders eine parallele im anderen Polyeder zu finden ist, bilden diese Flächenpaare mit den Verbindungskanten korrespondierender Ecken Prismen; und zwar genauso viele, wie Flächen im Polyeder zu finden sind. Analytisch ausgedrückt können wir uns die Eckkoordinaten der Platonischen Polyeder, der Archimedischen Polyeder, der Prismen oder der Antiprismen mit der Kantenlänge k nehmen und jeder Ecke die vierte Koordinate Null anhängen. Dann haben die anderen Eckkoordinaten die gleichen Werte – bis auf die vierte Koordinate, die jetzt den Wert k annimmt.

Damit besteht das Prismachor aus zwei Basiszellen und für jede Fläche einer Basiszelle ein entsprechendes Prisma. So besteht z.B. ein Prismachor mit einem stumpfen Hexaeder (3,8,8) als Basis aus zwei (3,8,8), sechs (4,4,8) und acht (3,4,4) oder mit einem 4-Antiprisma (3,3,3,4) als Basis aus zwei (3,3,3,4), zwei (4,4,4) und acht (3,4,4).