Polytope im IR ⁴ (= Polychora)

Eines der ältesten Teilgebiete der Geometrie ist die Beschreibung der regelmäßigen Polyeder im IR³. Die Wurzeln dieses Teilgebietes reichen zurück bis vor die Zeit um 500 vor Christus. Umfangreichere Arbeiten wurden wahrscheinlich erstmals um 400 vor Christus von Platon durchgeführt. Obwohl es sichere Indizien gibt, dass er viele Ideen von anderen Autoren übernommen hatte, werden die fünf regelmäßigsten Polyeder ihm zugesprochen und zu seinem Andenken die Platonischen Polyeder oder die Platonischen Körper genannt. Platon beschreibt Polyeder „höchster Perfektion und Harmonie“, die nur aus gleichen Flächen bestehen und deren Flächen selber alle gleich lange Kanten und gleich große Winkel haben (also selbst regelmäßig sind). Seine Arbeiten über diese Körper hatten nicht nur große Auswirkungen auf die Mathematik im Allgemeinen und die Geometrie im Speziellen, sondern auch auf die Philosophie, die Astronomie, die Astrologie und auf viele andere Wissensgebiete.

Weitere Arbeiten zu regelmäßigen Polyedern folgten um 250 vor Christus von Archimedes. Er beschreibt dreizehn Polyeder, deren Flächen alle regelmäßig, aber nicht gleich sind. Auch diese Arbeiten über die Archimedischen Polyeder hatten einen großen Einfluss auf viele Wissensgebiete.

Diese und viele weitere Arbeiten, die im Mittelalter und bis hinein in die frühe Neuzeit darüber verfasst wurden, bezogen sich auf greifbare Objekte im 3-dimensionalen Raum (z.B. Johannes Keplers Arbeiten über Polyeder). Erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts – mit der Weiterentwicklung der klassischen hin zur projektiven und nichteuklidischen Geometrie – tauchten erste Überlegungen zu höherdimensionalen geometrischen Objekten auf. Schließlich waren es Ludwig Schläfli und Victor Schlegel (um 1850 bzw. 1883), die sich als erste mit 4- und höherdimensionalen Körpern („Polyscheme“) befassten. Aber erst im 20. Jahrhundert bildete sich der allgemeine Begriff der Polytope als Analogon zu Polyedern im n-Dimensionalen aus.

Beide, Schläfli und Schlegel, befassten sich jedoch hauptsächlich mit regelmäßigen Polytopen. Schläfli war der erste, der zeigen konnte, dass es im 4-Dimensionalen sechs, in höheren Dimensionen allerdings nur noch je drei regelmäßige (konvexe) Polytope gibt. Schlegel wurde bekannt durch die nach ihm benannten Diagramme von Polyedern in der Ebene und von 4-dimensionalen Polytopen im Anschauungsraum bzw. in der Ebene.

Die ersten Arbeiten zu den halbregelmäßigen Polytopen waren Anfang des 20. Jahrhunderts die Untersuchungen von Thorold Gosset und Alicia Boole Stott. Allerdings wurde die Halbregelmäßigkeit immer auf unterschiedliche Art definiert. Für Gosset waren halbregelmäßige Polytope in n Dimensionen zusammengesetzt aus verschiedenen, aber selbst regelmäßigen Polytopen niedrigerer Dimension. Boole Stott hingegen erlaubte schon die Archimedischen Polyeder als Teile der Polytope. Erst Harold Scott Macdonald Coxeter führte die Halbregelmäßigkeit genauer ein.

Später folgten umfangreichere Arbeiten von Norman Woodason Johnson, Willem Abraham Wythoff, John Horton Conway, Mike J.T. Guy und Branko Grünbaum, um nur einige zu nennen. Alle befassten sich unter anderem mit Teilaspekten der halbregelmäßigen Polytope. Allerdings konnte keiner einen vollständigen Beweis über die Art und Anzahl dieser Polytope in Dimensionen größer als 3 liefern. Lediglich Conway und Guy arbeiteten in den frühen 60er Jahres des letzten Jahrhunderts an einem ersten Beweis; veröffentlicht wurde allerdings nur eine zweiseitige Zusammenfassung.

Erst 2004 wurde der erste vollständige Beweis über die Art und und die Anzahl der Archimedischen Polytope im IR³ veröffentlicht.