Polytope im IR ⁴ (= Polychora)

Um p,q-Biprismachora zu erzeugen, müssen wir uns mit deren Abwicklungen ein wenig näher beschäftigen. Stellen wir uns ein p-Prisma (p ≥ 3) vor, das vor uns auf einem seiner p-Ecke auf dem Tisch liegt. Jetzt legen wir weitere p-Prismen, jeweils p-Eck auf p-Eck darauf, bis ein Turm von q Prismen (q ≥ 3) entsteht. Betrachten wir jetzt nur einen – von p – senkrechten Streifen, der aus q Quadraten besteht und der vom unteren Prisma bis zum oberen verläuft. Diesen Streifen können wir gedanklich vom Turm lösen und flach auf den Tisch legen. Jetzt ist es offensichtlich, dass wir diesen Streifen zu einem – mehr oder weniger eckigen – Ring aus q Quadraten zusammenrollen können, indem wir entlang der Kanten zwischen den 4-Ecken nach oben (senkrecht zur Streifen-Ebene) knicken und die freie Kante des ersten mit der freien Kante des letzten 4-Ecks zusammenkleben. Sind alle Knickwinkel gleich, erhalten wir ein regelmäßiges q-Prisma.

Kommen wir jetzt wieder zurück zu unserem Turm. Nun können wir jeden der p Streifen zu einem q-Prisma aufrollen. Versuchen wir es allerdings simultan, dann zerreißen wir im Anschauungsraum die p-Ecke des Turmes. Wenn wir aber die Richtungen, in die wir die Streifen aufrollen, so wählen, dass wir nicht nur senkrecht zur Streifen-Ebene, sondern sogar senkrecht zum Turm (bzw. dessen 3-dimensionaler Hyperebene) knicken, dann wird klar, dass wir den Turm selbst auch aufrollen und dass dessen Deckel-p-Eck (die obere Fläche des Turmes) nun zusammenfällt mit der Grundfläche, auf der der Turm steht. Dies ist insbesondere deshalb einleuchtend, da diese p-Ecke aus p Kanten bestehen, die alle gleichzeitig, jeder in seinem Streifen, mit der entsprechenden Kante des unteren p-Ecks zusammenkommen. Wir erhalten also aus dem Turm einen Ring von q gleichen p-Prismen und aus den Streifen einen Ring aus p gleichen q-Prismen, wobei beide Ringe senkrecht zueinander stehen und nur über 4-Ecke miteinander verbunden sind. Deshalb nennen wir diese Polychora auch p,q-Biprismachora (p,q ≥ 3).

Diese Polychora sind selbstverständlich uniform: An jeder Ecke liegen zwei p-Prismen (vom Turm) und zwei q-Prismen (von den Streifen). Als Sonderfall dieser Biprismachora haben wir für p = q = 4 den 8-Zeller. Da haben wir nämlich folgende Situation: Einem 4-Prisma geben wir die vierte Koordinate Null, parallel dazu einem zweiten 4-Prisma die vierte Koordinate k (k sei die Kantenlänge). Dann bilden die beiden korrespondierenden 4-Eckpaare zwei weitere 4-Prismen (also sind es jetzt insgesamt vier) und die vier 4er-Streifen werden zu vier 4-Prismen (=Hexaeder). Damit ist also die Klasse von unendlichen Prismachora – nämlich die mit Prismen als Basis anders die mit Antiprismen als Basis – nur ein Teil dieser Biprismachor-Klasse.