Polytope im IR ⁴ (= Polychora)

Im IR⁴ gibt es (neben den beiden unendlichen Klassen von antiprismatischen Primachora und von Biprismachora) genau 64 uniforme (konvexe) Polychora. Diese lassen sich in vier Gruppen einteilen: Die erste Gruppe besteht aus den Prismachora basierend auf den Platonischen Zellen. Die zweite besteht aus den Prismachora basierend auf den Archimedischen Zellen. In der dritten Gruppen sind die regelmäßigen oder Platonischen Polychora. Und die letzte Gruppe hat Polychora, die auf den regelmäßigen Polychora basieren, von denen mehr oder weniger tief Ecken, Kanten, Flächen und/oder Zellen abgeschnitten oder herausgezogen sind.

Die erste Gruppe besitzt 4 Polychora. Dies sind Prismachora basierend auf dem Tetraeder, Oktaeder, Dodekaeder und dem Ikosaeder. Diese werden als Basiszelle genommen und deren Punktmenge senkrecht zu den Zellen in die vierte Dimension nach oben gezogen, bis die Kantenlängen gleich lang sind. Der Hexaeder wird hier ausgeklammert, da dieselbe Prozedur mit ihm einen 8-Zeller erzeugt, der bei den Platonischen Polychora mitgezählt wird.

Die zweite Gruppe besitzt 13 Polychora. Auch dieses sind Prismachora basierend auf den 13 Archimedischen Polyedern.

In der dritten Gruppe befinden sich die 6 Platonischen Polychora.

Die letzte Gruppe besteht 41 Polychora, die alle durch Abschneiden oder Herausziehen aus Platonischen Polychora entstanden sind. Eine Zuordnung zu einem bestimmten Platonischen Polychor ist nicht eindeutig, da durch Dualität und Symmetriezusammenfall viele dieser Polychora aus mehreren der regelmäßigen entstehen können.