Polytope im IR 4 (= Polychora) |
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Die Platonischen Polychora Im
IR4
gibt es sechs regelmäßige Polytope, die sechs
Platonischen Polychora. Sie bestehen jeweils aus gleichen (und regelmäßigen)
Zellen, die auf regelmäßige Art um Kanten und Ecken angeordnet sind. Dies sind der 5-Zeller, der 8-Zeller, der 16-Zeller, der 24-Zeller, der 120-Zeller und der
600-Zeller. Der 5-Zeller (C5) besteht aus fünf Tetraedern (3,3,3), zehn
3-Ecken, zehn Kanten und fünf Ecken. Diese haben die kartesischen Koordinaten
( 1, 1, 1, 0), ( 1,-1,-1, 0), (-1, 1,-1, 0),
(-1,-1, 1, 0) und ( 0, 0, 0, √5).
Des Weiteren liegen um eine Kante drei und um eine Ecke vier Zellen. Dieses
Polychor ist auch unter dem Namen 4-Simplex bekannt.
Der 8-Zeller (C8) – Maßpolychor, Hyperwürfel oder auch
Tesserakt genannt – besteht aus acht Hexaedern (4,4,4), 24 4-Ecken, 32 Kanten
und 16 Ecken mit den kartesischen Koordinaten ( ±1, ±1, ±1, ±1). An jeder Kante
liegen drei und an jeder Ecke vier Zellen.
Der 16-Zeller (C16) – auch Kreuzpolychor genannt – besitzt 16 Tetraeder
(3,3,3), 32 3-Ecke, 24 Kanten und acht Ecken. Die Koordinaten der Ecken sind
( ±1, 0, 0, 0) und alle Permutationen. Um jede Kante findet man vier Zellen und um
jede Ecke acht.
Der 24-Zeller (C24) hat 24 Oktaeder (3,3,3,3), 96 3-Ecke, 96
Kanten und 24 Ecken mit den Koordinaten ( ±1, 0, 0, 0) und alle Permutationen
und
( ±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2).
Zu jeder Ecke gibt es sechs Zellen und entlang
jeder Kante liegen drei Oktaeder (3,3,3,3).
Der 120-Zeller (C120) besitzt 120 Dodekaeder (5,5,5), 720 5-Ecke,
1200 Kanten und 600 Ecken. Dabei legen sich um jede Kante drei Zellen und um
jede Ecke vier. Diese Ecken sind ( ±1, ±1, 0, 0),
( ±√5/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2),
( ±τ/2, ±τ/2, ±τ/2, ±1/2τ²)
und
( ±τ²/2, ±1/2τ, ±1/2τ, ±1/2τ)
jeweils mit
allen Permutationen und
( ±τ²/2, ±1/2τ², ±1/2, 0),
( ±√5/2, ±1/2τ, ±τ/2, 0)
und
( ±1, ±1/2, ±τ/2, ±1/2τ)
jeweils mit den geraden Permutationen.
Hierbei ist τ [tau] die goldene Schnittzahl √5-1/2.
Der 600-Zeller (C600) besteht aus 600 Tetraedern (3,3,3), drei um
jede Kante, 1200 3-Ecken, 720 Kanten und 120 Ecken, um die jeweils zwanzig
Zellen liegen. Dabei sind
( ±1/2, ±1/2, ±1/2, ±1/2),
( ±1, 0, 0, 0) mit allen Permutationen, und
( ±τ/2, ±1/2, ±1/2τ, 0)
mit allen geraden Permutationen die
kartesischen Koordinaten der Ecken. τ ist dabei ebenfalls die goldene
Schnittzahl √5-1/2.
Die Platonischen Polychora gehören natürlich auch zu den halbregelmäßigen (d.h. uniformen) Polychora und werden dort als dritte von vier Gruppen mitgezählt. Weiter zur ersten, zur zweiten oder zur vierten Gruppe der 64 uniformen Polychora. |
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